Un. c. v. es una función vectorial de variable vectorial (V. VECTORES Y CÁLCULO VECTORIAL):

      Y=f().

      El dominio X es un conjunto de vectores; así como el recorrido Y, y la función f hace corresponder a cada vector x de X un vector y de Y. Si los vectores x, y pertenecen a un espacio ndimensional sobre el cuerpo de los números reales, la función vectorial J (x) equivale al conjunto de las n funciones escalares:

      yifi(xl, x2, ..., x,7)    (1=1, 2, ..., n).

      En el caso de tres dimensiones, una imagen del c. se obtiene cuando al punto de coordenadas x1, x2, x3 se le hace corresponder el vector de componentes y,, y2, y3 aplicado en dicho punto. El nombre de c. v. tiene un origen físico; así, en un fluido en movimiento en el espacio, la velocidad de cada uno de sus puntos determina un c. V. Son también vectoriales los conocidos c. de fuerzas. Los c. son continuos, diferenciables, etc., cuando lo son las funciones que los definen. Una línea X en el espacio se denomina linea de c., si en cada uno de sus puntos es tangente al vector del c. que parte del punto.

      Existe una relación estrecha entre los c. escalares (v.) y los vectoriales. Por medio de operadores se pueden construir c. v. a partir de los escalares e inversamente. Del c. escalar

      Y=f(x1, x2, x3)

      se deduce el vectorial, cuyos vectores tienen por componentes las derivadas parciales de la función. Si i, j, k son los vectores unitarios sobre los ejes, el c. v. obtenido hace corresponder a cada punto (x1, x2, x3) el vector

      af af af axi ax2 ax3 que se denomina gradiente de la función f y se designa por

      grad. f    o    Vf

      (p se lee nabla).

      Un c. v. deducido de otro vectorial yi=fi(x1, x2, x3)    (i=1, 2, 3) es el que a cada punto (x1, x2, x3) asigna el vector aplicado en dicho punto

      _af3 __af2    + ( _2f1 __af3    ( _af2 __af1

      ax2    ax3    z    ax3    axi    ~+    axi    ax2    } k,

      que se denomina rotacional de R XI, x2, x3) y se designa por rot. f. Finalmente, del c. v.

      f (XI, x2, x3)

      se deduce el escalar, en el que a cada punto (xi, x2, x3) le corresponde

      afi af2 19f3 aXI 19x2 19x3

      que se denomina divergencia de f y se designa div. f. V. t.: ESPACIOS MATEMÁTICOS VII.